Achilles dogoni żółwia

Treść paradoksu Zenona (ok. 490 p.n.e. – ok. 430 p.n.e.) dotyczące ruchu:

Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu „ucieknie” pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność. Wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość.

Paradoks ten rozwiązuje odkrycie matematyczne dokonane w XVII wieku.  Suma szeregu nieskończonego, który jest zbieżny, może być skończona. W nieskończoności.

Zmiana dystansu w postaci sumy szeregu nieskończonego zbieżnego.

                                  

                                                 

1/2 + 1/4 + 1/8  + .... =   1

Wzór na sumę długości tego odcinka według powyższego rozumowania będzie wyrażał się wzorem: l*s, gdzie s jest sumą powyższego szeregu, dla n∈(1;∞), czyli jego suma jest równa 1, a 1*l=l. CBDU (co było do udowodnienia).

Na podstawie powyższej analizy Achilles dogoni żółwia, i w następnym ruchu (chwili) żółwia przegoni. Paradoks przestaje być paradoksem.